dr Kazimierz M. Borkowski
Toruń — Katedra Radioastronomii UMK

Jak poprawnie obliczać wschody i zachody

Określenie momentu zjawiska astronomicznego (nie tylko wschodów i zachodów) polega na znalezieniu kąta godzinnego, przy którym ono zachodzi i następnie wyliczeniu czasu. Przypomnijmy, że kąt godzinny, t, to kąt pomiędzy dwoma płaszczyznami przecinającymi się na osi obrotu Ziemi (osi świata), z których jedna (wyznaczająca południk miejscowy) przechodzi przez zenit, a druga — przez obiekt. Jeśli znamy odległość zenitalną, z, obiektu to kąt ten obliczymy za pomocą wzoru:

cos t =  cos z – sinδ sinφ cosδ cosφ ,

gdzie δ jest deklinacją tego obiektu, a φ — szerokością geograficzną miejsca obserwacji. Jeśli prawa strona tego równania okaże się większa od jedności (co do wartości bezwzględnej), to będzie to oznaczać, że zjawisko nie może zaistnieć (np. obiekt nigdy nie wschodzi, albo nigdy nie zachodzi). Podaną formułę można łatwo wyprowadzić posługując się tzw. trójkątem paralaktycznym — trójkątem sferycznym o wierzchołkach w zenicie, biegunie nieba i wybranym obiekcie (ryc. 1). Wystarczy tylko zastosować wzór kosinusów trygonometrii sferycznej do jego boku zawierającego odległość zenitalną (pozostałe boki tego trójkąta są dopełnieniami szerokości geograficznej i deklinacji do 90°).

Ryc. 1.

W szczególności, przyjmując na z wartość 90° otrzymujemy natychmiast przybliżenie wyprowadzone w krytykowanej notce: cos t = –tanδ tanφ.

Po obliczeniu wartości bezwzględnej t opatrujemy ją znakiem plus (+), gdy zjawisko odbywa się po zachodniej stronie południka miejscowego (np. zachód obiektu), a znakiem minus (–), gdy przebiega ono po stronie wschodniej. Aby z kąta godzinnego obliczyć czas należy zajrzeć do rocznika astronomicznego i odczytać czas gwiazdowy o północy czasu uniwersalnego w Greenwich, S_o, dla wybranego dnia i roku (wielkość tę oczywiście można obliczyć także bez rocznika). Wtedy moment zjawiska wyrażony w czasie środkowoeuropejskim (CSE) otrzymuje się z relacji:

CSE = 1h + 0,99727(t + α – λ – So),

gdzie α jest rektascensją obiektu, a λ — długością geograficzną miejsca (liczoną dodatnio na wschód od Greenwich). Trzeba przy tym pamiętać, że wartość uzyskaną w nawiasie prawej strony wzoru należy zredukować do przedziału 0 – 24^h poprzez odejmowanie lub dodawanie 24^h. Wynik uzyskany bez takiej redukcji będzie również poprawny — odnosząc się jednak do innej daty — pod warunkiem, że współrzędne obiektu (α i δ) nie ulegają znaczącym zmianom. Interpretacja ostatniego wzoru stanie się jasna, jeśli zauważymy, że t + α – λ jest czasem gwiazdowym w Greenwich w chwili zjawiska, a czynnik 0,99727 mówi ile razy wolniej płynie czas słoneczny od gwiazdowego (doba gwiazdowa jest o około 4^m krótsza od słonecznej).

Opisany algorytm jest oczywiście słuszny także dla Słońca, ale dla tego ciała możemy posłużyć się prostszą zależnością:

CSE = 13h + t – λ + Δα,

gdzie Δα jest równaniem czasu (różnicą między czasem słonecznym prawdziwym i średnim), a jego wartość odczytujemy także z rocznika astronomicznego.

Przechodząc teraz konkretnie do wschodów i zachodów trzeba tylko wybrać odpowiednią wartość odległości zenitalnej. Jest nią:

z = 90°34' – p + R,

gdzie 34' pochodzą od refrakcji atmosferycznej (inni przyjmują tutaj 35'), p jest tzw. paralaksą horyzontalną (w praktyce dotyczy tylko Księżyca, dla którego wynosi ona około 57' ale rzeczywistą wartość trzeba odczytać z rocznika), zaś R — promieniem tarczy obiektu (dotyczy praktycznie tylko Słońca i Księżyca, dla których R ≈ 16'). Zatem, dla gwiazd i planet przyjmiemy z = 90°34'>, dla Słońca — z = 90°50', zaś dla Księżyca — z = 90°50' – p.

W taki sam sposób oblicza się momenty końca zmierzchu i początku świtu przyjmując na odległość zenitalną Słońca wartość 96° (zmierzch i świt cywilny), 102° (żeglarski) lub 108° (astronomiczny).

Przy obliczaniu wschodów i zachodów Księżyca (ewentualnie innych obiektów szybko przemieszczających się po niebie) trzeba jeszcze pamiętać o interpolacji współrzędnych tego ciała na godzinę zjawiska, gdyż zmieniają się one znacząco w ciągu doby. W tym celu obliczamy najpierw przybliżony moment zjawiska, następnie interpolujemy nań współrzędne i ponownie obliczamy dokładniejszą wartość momentu (w ścisłych rachunkach zwykle wystarczy dwie takie iteracje, ale w celach praktycznych możemy poprzestać na jednej).

LITERATURA

[1] L. Szalast, 1991, Fizyka w szkole, XXXVII, z. 2, 121.
[2] J. Mietelski, 1979, Astronomia w geografii, PWN, Warszawa.
[3] K.M. Borkowski, 1991, Astronomiczne obliczenia nie tylko dla geografów, Wyd. UMK Toruń.