dr Kazimierz M. Borkowski
Toruń — Katedra Radioastronomii UMK

Zaćmienia Słońca i Księżyca

Wstęp

Wielki epos staroindyjski Mahabharata (też Ramajana i kilka puran) tak opisuje genezę zaćmień Słońca i Księżyca: Upragnioną amritę, tj. napój nieśmiertelności, bogowie i asurowie (demony) otrzymali po długotrwałym wspólnym ubijaniu oceanu. Podstępni bogowie zagarnęli jednak ów napój wyłącznie dla siebie przy pomocy fortelu. Kiedy tak się nim raczyli jeden z asurów — smok Rahu (w literaturze wedyjskiej Swarbhanu) — przybrawszy postać boga ukradkiem dołączył do grupy pijących. Szybko jednak rozpoznało go Słońce i Księżyc, a ponieważ dobrze życzyli bogom więc zdemaskowali smoka. Rozgniewany Wisznu odciął smokowi głowę w chwili, gdy ten już rozpoczął picie amrity jednak nie zdążył jeszcze przełknąć pierwszej porcji. W efekcie tego zbiegu okoliczności odcięta głowa Rahu stając się nieśmiertelna wzniosła się do nieba, a reszta śmiertelnego ciała, jak powiadają, runęła w dół aż ziemia zadrżała od upadku. Od tamtej pory Rahu pozostaje na niebie i żywiąc niepohamowaną nienawiść do Słońca i Księżyca prześladuje je nieustannie. Chcąc zemścić się za zdemaskowanie co jakiś czas usiłuje je połknąć, a efektem tych prób są zaćmienia (Erman i Tiomkin, 1987).

W kontraście do powyższego opisu, dzisiejsi astronomowie pojmują te zjawiska zgoła prozaicznie: oto Księżyc w swej comiesięcznej wędrówce wokół Ziemi, gdy znajdzie się na kierunku Słońce — Ziemia przesłania Słońce (w okresie nowiu) bądź zagłębia się w cień Ziemi (w czasie pełni). Nie każdemu obiegowi Księżyca towarzyszą jednak zaćmienia, gdyż orbita naszego naturalnego satelity jest nachylona do płaszczyzny ekliptyki (drogi Słońca na tle gwiazd) pod kątem o rząd większym od widomych tarcz Słońca i Księżyca i kilkakrotnie większym od cienia Ziemi w odległości Księżyca. Jeśli spotkanie (konjunkcja) Księżyca ze Słońcem lub cieniem Ziemi następuje dostatecznie blisko węzłów orbity Księżyca (punktów przebicia płaszczyzny ekliptyki przez orbitę) to niezawodnie mamy zjawisko zaćmienia. Teoria astronomiczna ma tą istotną przewagę nad wedyjską, że pozwala m.in. na dość precyzyjne przewidywanie występowania zaćmień już od czasów starożytności i hen w odległą przyszłość. Tak np., bliższa analiza geometrii zaćmień prowadzi do wniosku, że w ciągu roku musi wystąpić przynajmniej dwa zaćmienia (wtedy oba są słoneczne), a może ich być nawet siedem (4 słoneczne i 3 księżycowe lub 5 słonecznych i 2 księżycowe). Średnio na jedno stulecie przypada około 237 zaćmień Słońca i 154 zaćmienia Księżyca (w tym 71 całkowitych).

Zaćmienia Słońca — zwłaszcza centralne, przy których dysk słoneczny zostaje całkowicie przesłonięty przez Księżyc (zaćmienie całkowite) lub tarcza Księżyca znajdzie się całym obwodem wewnątrz dysku słonecznego (zaćmienie obrączkowe) — należą do najbardziej widowiskowych zjawisk przyrody. Podczas całkowitego zaćmienia w pełni dnia dość nagle na kilka minut (do 7^m31^s) zapada prawdziwy zmrok, a przy tym zwierzęta reagują niespokojem, ptactwo udaje się na spoczynek, a na niebie pojawiają się planety i najjaśniejsze gwiazdy. Niestety, są to jednak nadzwyczaj rzadkie zjawiska. W określonym miejscu tylko raz na kilkaset lat występuje całkowite zaćmienie Słońca. Dzieje się tak ponieważ cień rzucany przez Księżyc przy powierzchni Ziemi osiąga średnicę co najwyżej kilkuset kilometrów (ściślej: do 270) i chociaż plama taka wędruje tysiące kilometrów (z szybkością pół kilometra na sekundę generalnie ku wschodowi) to zakreślony pas (całkowitego zaćmienia) stanowi zwykle znacznie mniej niż jeden procent powierzchni Ziemi. Dla obserwatorów poza tym pasem zaćmienie — jeśli w ogóle ma miejsce — jawi się tylko częściowym. Ciekawe, że nawet gdy faza zaćmienia częściowego jest względnie duża (sięgająca 98 % przesłoniętej średnicy Słońca, Stephenson i Clark 1978), przy bezchmurnej pogodzie nieprzygotowany obserwator może wcale nie zauważyć zjawiska, gdyż ubytek w jasności otoczenia nie jest alarmująco duży. Z drugiej strony, w pewnych sytuacjach (sprzyjające zachmurzenie lub mgła) zaćmienia nawet o bardzo małej fazie łatwo dają się obserwować.

W odróżnieniu od zaćmień Słońca zaćmienia Księżyca są widoczne na całej półkuli Ziemi, której biegunem jest punkt podksiężycowy (Księżyc jest w zenicie nad tym punktem). Mimo, że pod względem widowiskowości ustępują wyraźnie słonecznym, zaćmienia te są także zjawiskami o wyjątkowym uroku. Oto jeszcze na krótko przed zaćmieniem na niebie obficie okraszonym blaskiem pełni Księżyca widoczne pozostają jedynie najjaśniejsze gwiazdy. W miarę pogrążania się globu księżycowego w cieniu rzucanym przez Ziemię coraz więcej gwiazd pojawia się na niebie. Wreszcie, w czasie pełnej fazy, która może trwać dobrze ponad godzinę (1^h40^m), niebo znów zapełnia miriady gwiazd. Naturalnie nie wszystkie zaćmienia są całkowitymi. Częściej bywa, że Księżyc tylko muśnie stożek cienia Ziemi i pomknie dalej w swej wędrówce wokół Ziemi. Mówimy wtedy o częściowym zaćmieniu.

Współczesne i historyczne obserwacje zaćmień Słońca i Księżyca, a zwłaszcza zaćmień całkowitych, stanowią unikalne źródło wiedzy o samym Słońcu (np. Sofia i in. 1980), ruchu Księżyca (np. Zawilski 1989) i rotacji Ziemi (np. Borkowski 1988, Pang i in. 1988, Stephenson i Said 1989). Dla historyków stanowią one bezcenną, niekiedy jedyną, informację o datach przeszłych zdarzeń (np. Pang 1987, de Jong i van Soldt 1989). Szczegółową i wyczerpującą dyskusję znaczenia historycznych zapisków obserwacji zaćmień przedstawił Zawilski (1989) w serii artykułów zamieszczonych w Uranii dlatego tutaj nie będziemy tego aspektu rozszerzać.

Istnieje jeszcze trzeci typ zaćmień, nazywanych półcieniowymi, kiedy tarczę Księżyca pokrywa częściowo (rzadziej całkowicie, Meeus 1980) tylko półcień Ziemi. Ten rodzaj zaćmień powszechnie umyka uwadze przygodnych obserwatorów, gdyż osłabienie blasku Księżyca jest w czasie tego zjawiska rzeczywiście niewielkie. Niemniej, również takie zaćmienie może być dość łatwo zaobserwowane nieuzbrojonym okiem jeśli jego faza (ułamek średnicy tarczy Księżyca pokryty półcieniem) przewyższy ok. 0,7 – 0,8 (Sharonov 1952). Obserwacje zaćmień półcieniowych są użyteczne w badaniach rozkładu natężenia światła wewnątrz stożka cienia, który niesie informacje o wyższych warstwach atmosfery Ziemi. W okresie 100 lat mamy średnio około 89 zaćmień półcieniowych. Jeśli w rachunkach uwzględnimy zaćmienia półcieniowe to w roku musi wystąpić przynajmniej 4 zaćmienia: po dwa słoneczne i księżycowe. Maksymalna liczba pozostaje 7, z tym że mogą to być także 2 zaćmienia Słońca i 5 Księżyca lub 3 Słońca i 4 Księżyca (Polozova 1955).

Wprawdzie literatura światowa zawiera bogaty zestaw spisów zaćmień (tzw. kanonów) od czasów historycznych po daleką przyszłość (np. Oppolzer 1887, Mucke i Meeus 1983, Meeus i Mucke 1983, Liu 1983, Stephenson i Houlden 1986, Espenak 1987) w naszym kraju są to publikacje trudnodostępne lub w ogóle nieosiągalne. Do niedawna mieliśmy praktycznie całkowity brak wyczerpujących opracowań dla terenu Polski, szczególnie jeśli chodzi o zaćmienia historyczne. Luki tej nie niwelował wyciąg z Oppolzera (1887) dla XX w.  zamieszczony w kalendarzu Janiczka (1962). Cennym wkładem są natomiast niedawne prace Fangora (1990ab) obejmujące lata 1991 – 2200. W tej sytuacji postanowiłem przygotować listy zaćmień Słońca i Księżyca dla Polski dla całej historii naszego kraju w oparciu o własny program, napisany w języku FORTRAN77. Opis tego programu oraz szczegółowe wyniki obliczeń przedstawiłem w pracach Borkowski (1989, 1990a, 1990b). Tutaj podam tylko informacje najistotniejsze (jednak ze szczegółami nowego algorytmu dla zaćmień Księżyca) i niewielką porcję wyników dotyczących ,,polskich" zaćmień w najbliższych kilkudziesięciu latach.

Algorytmy

Wspomniany program do obliczania okoliczności zaćmień jest dość złożony (część kompilowalna zajmuje w pamięci komputera około 50 000 bajtów). Może on dostarczyć listę zaćmień (jednego z trzech typów) dla zadanego miejsca (lub kilkunastu miejsc jednocześnie) w zadanym okresie, obliczyć okoliczności tylko najbliższego zaćmienia albo prześledzić przebieg zaćmienia z zadanym krokiem (z dodatkową możliwością graficznego przedstawienia na ekranie PC). Zasadniczym elementem programu są procedury obliczania pozycji Słońca i Księżyca na wybrany moment czasu dynamicznego (DT, dawniej znanego jako czas efemeryd). Wykorzystuje się tutaj algorytmy dające położenie tych dwóch ciał z dokładnością 2" (opisane są w pracach: Bretagnon i in. 1986 oraz Chapront-Touze i Chapront 1988). Oryginalne algorytmy nieco zmodyfikowałem, tak by uwzględnić nutację i móc dobierać wiekowe pływowe przyspieszenie Księżyca (standartowo –26 "/wiek/wiek). Wartości DT – UT, używane do modyfikacji długości geograficznej i zamiany czasu dynamicznego na uniwersalny (UT), są obliczane zgodnie z opracowaniem Stephensona i Morrisona (1984). Dla prezentowanych tu wyników po roku 1990 używam wzoru (w s):

DT – UT = 25.5 (y/100 – 17.955)2 – 34,

(1)

który różni się od oryginalnego o podane 34 s i gdzie y jest rokiem kalendarzowym. Daty kalendarzowe przeliczane są zgodnie z algorytmami D.A. Hatchera (Borkowski 1987).

W celu wygenerowania listy zaćmień mój program przeszukuje wszystkie opozycje lub konjunkcje (w długości ekliptycznej) Słońca z Księżycem, poczynając od podanej daty. Kiedy szerokość ekliptyczna w analizowanym momencie jest mniejsza od z góry zadanej wartości (innej dla zaćmień Słońca i Księżyca) wówczas przeprowadzana jest szczegółowa analiza możliwego zaćmienia i badanie czy będzie ono widoczne z określonego miejsca.

Dla zaćmień Słońca analiza ta przeprowadzana jest bezpośrednio na współrzędnych topocentrycznych, a nie — jak to się zwykle robi (np. Explanatory Supplement AENA 1961) — poprzez elementy Bessela. W tym celu w cyklicznym procesie zawężającym przedział czasu w okolicy maksimum fazy do około 4 minut wyznacza się moment maksymalnej fazy przez dopasowanie paraboli do odległości środków tarcz Słońca i Księżyca w trzech punktach na tym przedziale. Następnie, w innym procesie iteracyjnym (metoda Newtona) wyznaczane są momenty kontaktów (zrównanie odległości z sumą promieni tarcz).

W przypadku zaćmień Księżyca (cieniowych i półcieniowych) podobna analiza wykonywana jest także w oryginalny sposób. Ponieważ okazało się, że w istocie będąc prostą jest zarazem bardzo dokładną metodą nie wymagającą żadnych iteracji pozwolę sobie ją tutaj bliżej omówić.

Po wykryciu możliwości zaistnienia zaćmienia Księżyca oblicza się kątową odległość tego ciała od kierunku środka cienia Ziemi co pozwala na zgrubną ocenę czasu trwania zaćmienia [korzysta się tu ze wzoru typu (8) niżej]. Następnie oblicza się współrzędne ekliptyczne (szerokość β i długość L) dla dwóch momentów (DT i DT' położonych symetrycznie względem momentu opozycji) odległych o oceniony czas trwania (jednak nie mniej niż o jedną godzinę). Dalsze rachunki przeprowadzane są w układzie współrzędnych: szerokość — różnicowa długość ekliptyczna (ta druga współrzędna, oznaczmy ją przez Λ, jest różnicą aktualnej długości i długości środka cienia). Momenty maksymalnej fazy DT_o i kontaktów cienia lub półcienia z brzegiem dysku księżycowego: początek albo tzw.  drugi kontakt (DT_o – t/2) i koniec zaćmienia albo tzw. trzeci kontakt (DT_o + t/2), są teraz obliczane w sposób ścisły. Dwa położenia Księżyca względem cienia, (Λ,β) i (Λ',β'), określają jednoznacznie chwilową ,,orbitę" Księżyca (Ryc. 1), którą opisuje inklinacja względem ekliptyki oraz długość (różnicowa) węzła wstępującego:

Ryc. 1.

i = arccos(sinΨcosβ) oraz

(2)

Ω = Λ – arctan(sinΨsinβ/cosΨ),

(3)

gdzie

Ψ = arctan{sin(Λ' – Λ)/[cosβ tanβ' – sinβcos(Λ' – Λ)]}

(4)

a funkcja arctan w (3) i (4) musi być obliczana w przedziale ±π zgodnie ze znakami licznika (znak sinusa obliczanego kąta) i mianownika (znak kosinusa) jej argumentu. Odległość od początku układu współrzędnych, który pokrywa się ze środkiem cienia, do okręgu wielkiego drogi Księżyca wynosi:

σo = arcsin(sin i sinΩ).

(5)

To największe zbliżenie Księżyca do cienia przypada w punkcie jego orbity odległym od (β,Λ) o łuk:

δl = arcsin[(sinσocosΨ – sinΛ)/(cosσosinΨ)]

(6)

tak, że czas maksymalnej fazy dostaje się z:

DTo = DT + δl/v,

(7)

gdzie v = Δl/(DT' – DT) jest średnią kątową prędkością Księżyca wzdłuż orbity, przy czym Δl = arcsin[cosβ' sin(Λ' – Λ)/sinΨ]. Wreszcie, czas półtrwania zaćmienia wylicza się z:

t = 2 arccos(cosσ/cosσo)/|v|,

(8)

gdzie σ jest równe (D_u + D_m)/2 dla całkowitego czasu trwania zaćmienia, a (D_u – D_m)/2 dla fazy zaćmienia całkowitego, w których D_u i D_m są kątowymi średnicami cienia lub półcienia i Księżyca, odpowiednio. W obliczeniach praktycznych przyjąłem, jak to się na ogół czyni, standartowo powiększony cień geometryczny Ziemi (o czynnik 1,02) aby uwzględnić wpływ atmosfery Ziemi. Warto jednak pamiętać, że być może nie jest to najlepsza poprawka i np.  Francuzi robią to inaczej (Meeus 1980, Raab 1988).

Na zakończenie procedury oblicza się na nowo współrzędne równikowe Księżyca i cienia dla znalezionych trzech momentów, DT_o ± t/2 oraz DT_o, w celu obliczenia lokalnych okoliczności zaćmienia, tj. współrzędnych horyzontalnych Księżyca i położenia środka cienia względem środka Księżyca (kąta V mierzonego w lewo od kierunku na zenit). Naturalnie, trzeba tu uwzględnić paralaksę dobową i refrakcję atmosferyczną (do oceny tego ostatniego efektu użyłem formuł zaadaptowanych z Almanac for Computers 1988).

Liniową fazę zaćmienia definiuje się jako zaciemniony ułamek średnicy D tarczy ciała ulegającego zaćmieniu:

f = 1/2 + (D' – 2σo)/(2D),

(9)

gdzie D' jest średnicą obiektu zasłaniającego, a σ_o — odległością środków obiektów uczestniczących w zjawisku. Problem obliczenia tzw. fazy powierzchniowej, tj. zaciemnionego ułamka lub procentu F powierzchni tarczy, nie jest już tak trywialny. Moje rozwiązanie ma taką postać:

ψ = 2 arcsin √   f(D'/D – f)/x   ,

(10)

ψ' = 2 arcsin √   f(1 – f)D/(D'x)   ,

(11)

F = 100 [ψ + (D'/D)2ψ' – x sinψ]/π,

(12)

gdzie x = 1 + D'/D – 2f = 2σ_o/D zaś parametry ψ są połówkami kątów pod jakimi widać punkty przecięcia się brzegów tarcz z ich środków, wyrażonymi w radianach. Inne sposoby podają Dagaev (1978, ten algorytm zawodzi jednak w pewnych sytuacjach) i Merletti (1986). Czytelnik zwróci uwagę na to, że powyższe wzory na obliczanie kątów ψ są przydatne do graficznej reprezentacji zaćmień o znanej fazie (tak, jak na przykładach Ryc. 2, 3 i 4).

Wyniki

Po wielu testach wykorzystałem opisany program (w wersji z początku 1988 r., kiedy opierał się on jeszcze — jak to obecnie oceniam — na niezbyt udanym algorytmie wyznaczania momentów kontaktów) do obliczenia okoliczności wszystkich zaćmień Słońca widocznych z 10 miast Polski (Warszawa, Toruń, Gdańsk, Szczecin, Poznań, Wrocław, Kraków, Lwów, Pińsk i Wilno) w latach 900 – 2200 (Borkowski 1989). Podobnie postąpiłem z cieniowymi zaćmieniami Księżyca widocznymi z obszaru Europy w tym samym zakresie czasu (Borkowski 1990a). Kolekcję zaćmień Słońca i Księżyca uzupełniłem jeszcze listą wszystkich zaćmień półcieniowych w okresie 300 lat (1900 – 2200; Borkowski 1990b). Dla celów niniejszej prezentacji wykonałem osobne obliczenia, z najwyższą dokładnością na jaką obecnie mój program pozwala, dla geograficznego położenia Warszawy (przyjmując długość geograficzną 21.03°E i szerokość 52.22°N) i w okresie nadchodzącego pół wieku (do 2040 r.  włącznie). Te właśnie wyniki zawierają tabele 1 (zaćmienia Słońca), 2 (cieniowe Księżyca) i 3 (półcieniowe Księżyca). Odpowiednio do tabel, rysunki 2, 3 i 4 przedstawiają wygląd Słońca lub Księżyca w czasie maksymalnej fazy zaćmień częściowych (dla oszczędności miejsca w reprezentacji graficznej pominięto trywialny przypadek całkowitych zaćmień Księżyca).

W każdej ze wspomnianych tabel jednemu zaćmieniu odpowiada jeden wiersz rozpoczynający się od daty (rok, miesiąc i dzień miesiąca). W dalszych kolumnach podano momenty kontaktów (początek i koniec zaćmienia) i/lub maksymalnej fazy w czasie środkowo-europejskim (CSE — zimowym w Polsce tj. UT zwiększonym o 1 godz.) i odpowiadające wysokości ciała zaćmiewanego nad warszawskim horyzontem (h, w stopniach) oraz kąt pozycyjny V (też w stopniach). Niektóre momenty są wyrażone godziną przewyższającą 24 co należy interpretować jako odnoszące się do następnego dnia. Dla chwili maksymalnej fazy w tabelach podano ponadto (odpowiednio do rodzaju zaćmienia) azymut Słońca lub Księżyca (a, w stopniach), wartość fazy liniowej i powierzchniowej (F, w procentach) oraz kątowe rozmiary (średnice) dysków Słońca (D_s), Księżyca (D_m), cienia (D_u) i półcienia (D_p) Ziemi w odległości Księżyca, wszystkie w minutach łuku. Ostatnia kolumna tabel zaćmień Księżyca zawiera moment (CSE) wschodu lub zachodu Księżyca w Warszawie, który jest najbliższy danemu zaćmieniu.

Tabela 1

Zaćmienia Słońca widoczne w Polsce w latach 1991 – 2040 obliczone dla geograficznego położenia Warszawy

Data			Początek			Maksimum fazy								Koniec
Rok	M	d	CSE	h	V	CSE	h	a	V	faza	F	Ds	Dm	CSE	h	V
			h m	°	°	h m	°	°	°		%	'	'	h m	°	°
1993	5	21	1618	27	299	1642	24	93	319	0,061	2	31,6	30,8	1705	20	339
1994	5	10	1838	4	194	1912	0	120	166	0,354	23	31,7	29,5	2014	-8	93
1996	10	12	1423	19	280	1535	10	64	343	0,658	56	32,1	30,7	1642	1	50
1999	8	11	1032	51	294	1151	53	4	195	0,858	83	31,6	32,5	1310	49	96
2003	5	31	327	0	291	424	7	243	17	0,837	77	31,6	29,7	524	16	102
2005	10	3	913	27	297	1021	32	341	232	0,421	30	32,0	30,4	1132	34	164
2006	3	29	1054	40	212	1157	41	6	138	0,537	44	32,0	33,6	1300	39	65
2008	8	1	952	49	4	1050	54	338	41	0,344	23	31,5	32,9	1148	56	75
2010	1	15	702	-6	220	743	0	306	188	0,019	0	32,5	29,5	749	1	183
2011	1	4	813	3	299	936	10	331	8	0,817	75	32,5	30,7	1104	15	74
2015	3	20	947	32	284	1056	37	345	345	0,723	66	32,1	33,8	1207	37	44
2021	6	10	1055	60	320	1154	61	9	340	0,196	10	31,5	30,0	1253	57	2
2022	10	25	1014	24	346	1123	26	1	35	0,521	41	32,2	32,0	1232	24	84
2025	3	29	1150	41	288	1228	40	16	312	0,157	7	32,0	33,7	1306	38	338
2026	8	12	1814	7	249	1902	0	115	192	0,850	82	31,6	32,6	1955	-7	92
2027	8	2	926	46	288	1022	52	328	226	0,413	30	31,5	33,9	1119	55	161
2029	6	12	326	1	358	353	4	236	30	0,122	5	31,5	30,4	420	7	60
2030	6	1	516	15	285	622	25	265	212	0,722	64	31,5	29,6	734	36	136
2034	3	20	1110	37	193	1149	38	2	155	0,147	7	32,1	33,4	1228	37	116
2036	8	21	1811	4	266	1843	0	110	289	0,570	48	31,6	33,4	1947	-9	58
2037	1	16	909	9	309	1036	15	343	6	0,638	53	32,5	29,9	1207	17	60
2038	1	5	1503	3	187	1534	0	52	160	0,215	11	32,5	31,2	1640	-9	93
2038	7	2	1511	41	154	1523	39	77	145	0,013	0	31,5	31,0	1534	37	136
2039	6	21	1826	11	239	1926	4	125	328	0,873	82	31,5	29,6	2022	-3	57

Ryc. 2.

W przypadku zaćmień Słońca których teoretyczne maksimum przypada pod horyzontem Warszawy, tabelaryczne maksimum fazy odpowiada momentowi wschodu lub zachodu Słońca (chwile wschodów i zachodów Słońca obliczono przy założeniu, że dolny skraj widomej jego tarczy znajduje się na horyzoncie; podobnie zdefiniowane są wschody i zachody Księżyca w Tab. 2 i 3).

Tabela 2 Zaćmienia Księżyca widoczne w Polsce w latach 1991 – 2040. Wielkości h, a, V oraz W/Z dotyczą Warszawy Data Początek Maksimum fazy Koniec W/Z Rok  M  d   CSE  h   CSE  h a  V  faza  Dp   Du   Dm   CSE  h   CSE       h m  °  h m  ° °  °    '     '     '      h m  °   h m 1992  12  9    2259  60   2444  57 34  159  1,274  152,4  86,0  31,8   2629  45   3154 1993  11  29   540  13  726  -1 126  324  1,091  146,1  79,8  30,1  912  -12   719 1994  5  25   337  0  430  -8 66  149  0,248  156,7  92,1  33,2  523  -15   333 1996  4  3   2321  31  2510  28 26  2  1,383  149,3  84,0  31,1  2658  17   2908 1996  9  27   212  28  354  15 73  127  1,244  154,7  89,5  32,6  536  0   538 1997  3  24   357  14  539  -1 89  160  0,923  144,1  78,5  29,7  721  -16   534 1997  9  16   1808  3  1947  17 300  15  1,197  157,9  92,9  33,5  2125  28   1748 2000  1  21   402  30  543  15 102  327  1,330  157,3  90,9  33,1  725  1   735 2001  1  9   1942  35  2120  49 304  216  1,194  158,5  92,0  33,4  2259  58   1525 2003  5  16   303  5  440  -8 68  163  1,132  157,5  92,8  33,4  617  -22   343 2003  11  9   032  50  218  39 61  303  1,021  143,4  77,4  29,5  404  24   658 2004  5  4   1948  6  2130  15 330  42  1,308  156,3  91,5  33,1  2312  20   1858 2004  10  28   214  36  404  21 83  116  1,311  147,2  81,4  30,5  554  5   634 2006  9  7   1905  7  1951  13 302  3  0,188  157,7  92,8  33,4  2037  19   1815 2007  3  3   2230  42  2421  44 11  201  1,236  144,3  78,4  29,7  2611  35   3023 2008  2  21   243  35  426  20 80  349  1,109  149,7  83,6  31,1  609  5   641 2008  8  16   2035  13  2210  21 336  169  0,812  147,3  82,8  30,7  2344  24   1851 2009  12  31   1952  38  2022  43 288  230  0,080  157,7  91,2  33,2  2053  47   1509 2010  12  21   732  1  917  -9 149  165  1,260  152,1  85,7  31,7  1101  -15   743 2011  6  15   1923  -4  2112  7 327  199  1,704  151,7  87,4  31,9  2302  13   1954 2011  12  10   1345  -10  1532  1 234  33  1,110  145,9  79,5  30,1  1718  15   1524 2013  4  25   2052  14  2107  15 323  36  0,019  155,0  90,1  32,7  2123  17   1848 2015  9  28   207  28  347  15 71  307  1,282  158,0  92,8  33,5  527  1   536 2017  8  7   1822  -7  1920  2 299  202  0,250  145,6  81,2  30,3  2018  9   1908 2018  1  31   1248  -20  1430  -14 219  34  1,321  157,4  91,1  33,2  1611  -2   1628 2018  7  27   1924  -1  2121  12 326  193  1,612  142,4  78,1  29,4  2319  18   1929 2019  1  21   433  26  612  11 107  148  1,200  158,4  91,9  33,4  751  -2   739 2019  7  16   2101  7  2230  13 343  7  0,658  144,4  80,1  30,0  2360  15   1947 2022  5  16   327  1  511  -13 74  341  1,419  155,9  91,3  33,0  655  -28   337 2023  10  28   2034  39  2114  44 315  181  0,127  154,0  88,2  32,3  2153  48   1604 2024  9  18   312  17  344  13 67  297  0,088  157,7  92,7  33,4  416  9   520 2025  3  14   609  -2  758  -18 119  177  1,182  144,4  78,6  29,8  948  -31   555 2025  9  7   1726  -7  1911  9 293  6  1,366  153,5  88,7  32,3  2056  22   1810 2026  8  28   333  9  512  -5 80  115  0,934  147,0  82,3  30,6  652  -19   442 2028  1  12   444  26  513  22 98  154  0,070  157,5  91,0  33,2  541  17   753 2028  7  6   1808  -15  1919  -5 303  22  0,394  145,8  81,5  30,3  2030  3   2003 2028  12  31   1607  5  1751  19 257  231  1,250  151,8  85,3  31,6  1936  34   1523 2029  6  26   232  4  422  -8 61  140  1,848  152,1  87,8  32,0  612  -23   314 2029  12  20   2155  55  2341  60 4  3  1,121  145,7  79,2  30,0  2528  53   3156 2030  6  15   1820  -12  1933  -3 306  209  0,507  156,9  92,6  33,3  2045  5   1953 2032  10  18   1824  17  2002  31 298  198  1,106  155,5  89,9  32,8  2140  43   1626 2033  4  14   1824  0  2012  14 308  225  1,098  143,6  78,4  29,6  2160  24   1825 2034  9  28   330  17  346  15 70  307  0,019  155,0  89,8  32,7  401  13   534 2035  8  19   131  20  210  17 39  143  0,107  145,4  80,8  30,2  249  13   437 2036  2  11   2130  42  2311  50 345  23  1,305  157,6  91,3  33,2  2453  49   1620 2036  8  7   155  15  351  2 58  136  1,457  142,5  78,0  29,4  547  -14   411 2037  1  31   1321  -18  1460  -10 225  218  1,211  158,2  91,8  33,4  1639  2   1623 2037  7  27   332  2  508  -11 71  314  0,814  144,7  80,3  30,0  645  -25   345 2039  6  6   1823  -11  1953  1 310  222  0,889  157,5  93,1  33,4  2123  9   1948 2039  11  30   1611  6  1755  20 262  26  0,946  143,7  77,4  29,5  1938  36   1526 2040  11  18   1812  23  2003  39 291  199  1,401  148,0  81,9  30,7  2153  53   1532

Ryc. 3.

Roczniki astronomiczne zwykle podają także momenty kontaktów półcienia Ziemi z tarczą Księżyca w przypadku zaćmień cieniowych. Wielkości te można odzyskać z Tab. 2 w następujący sposób: Z danych tej tabeli obliczamy σ_o za pomocą odpowiednio przekształconego wzoru (9) oraz czas t trwania zaćmienia z różnicy jego momentów końca i początku. Wtedy czas upływający od wejścia Księżyca w półcień przed zaćmieniem cieniowym do wyjścia z półcienia po zaćmieniu wynosi

t arccos{cos[(Dp + Dm)/2]/cosσo}/arccos{cos[(Du + Dm)/2]/cosσo}.

Podobnie obliczylibyśmy czas upływający między wewnętrznymi kontaktami z półcieniem biorąc w powyższym wzorze D_p – D_m zamiast D_p + D_m. Dodając do, i odejmując od, chwili środka zaćmienia połowę obliczonego upływu czasu otrzymujemy pożądane momenty kontaktów z półcieniem.

Dla zaćmień półcieniowych (Tab. 3) zamiast momentów kontaktów podano czasy trwania zaćmienia t (w minutach czasu), a dla całkowitych także czas trwania pełnej fazy T (też w minutach) w kolumnie (i zamiast) fazy powierzchniowej F (równej wtedy ściśle 100%). Podobnie jak w sugerowanych wyżej obliczeniach, momenty kontaktów dostaje się z momentu środka zaćmienia przez dodanie i odjęcie połowy czasu trwania danej fazy (t/2 albo T/2).

Tabela 3 Półcieniowe zaćmienia Księżyca widoczne w Polsce w latach 1991 – 2040. Ostatnie cztery kolumny dotyczą Warszawy Data Dane odnoszące się do środka zaćmienia  W/Z  Rok  M D CSE  faza  F/T  t  Dp  Dm h  a  V CSE        h m       %/m m      '  ' °  °  °     h m 1991  1  30     658.6  0.907  95%  241.6  155.9  32.8 2  114  345     714 1991  6  27     414.7  0.339  28%  177.1  142.4  29.4 -8  59  317     307 1991  7  26     1907.8  0.281  22%  161.1  143.0  29.6 -3  298  196     1926 1994  11  18     743.9  0.908  95%  276.5  143.3  29.4 -6  129  322     656 1995  10  8     1704.1  0.852  90%  252.2  148.4  30.9 2  262  201     1650 1998  3  13     520.0  0.735  77%  251.7  143.4  29.5 7  87  160     605 1998  8  8     324.8  0.147  8%  106.5  152.3  32.1 7  54  138     418 1999  1  31     1717.4  1.029  40m  265.9  151.4  31.6 7  254  48     1621 2002  6  24     2227.0  0.236  17%  137.2  149.8  31.4 11  344  15     2004 2002  11  20     246.5  0.887  93%  269.2  144.7  29.8 38  69  304     714 2006  3  14     2447.3  1.057  60m  292.1  143.4  29.5 39  20  197     3001 2009  2  9     1538.0  0.926  96%  243.0  156.1  32.8 -9  236  55     1645 2009  8  6     138.9  0.429  39%  196.6  142.9  29.5 17  30  139     419 2012  11  28     1532.8  0.943  97%  280.8  143.3  29.4 0  236  29     1534 2013  10  18     2450.0  0.791  84%  243.8  148.9  31.0 44  32  145     3029 2016  9  16     1954.0  0.934  97%  243.3  155.2  32.8 17  301  14     1751 2017  2  10     2543.6  1.015  28m  263.4  151.7  31.7 44  41  349     3101 2020  1  10     2009.7  0.922  96%  248.8  153.7  32.2 39  285  223     1524 2020  6  5     2024.7  0.594  60%  203.2  153.5  32.4 5  316  219     1941 2023  5  5     1822.5  0.990  100%  261.8  150.2  31.4 -7  291  60     1913 2024  3  25     812.4  0.983  100%  283.9  143.2  29.5 -24  120  177     533 2027  2  20     2412.4  0.953  98%  245.0  156.3  32.9 47  9  21     3038 2030  12  9     2327.1  0.969  99%  284.1  143.4  29.4 59  359  1     1512 2031  5  7     450.3  0.907  95%  241.5  154.6  32.6 -9  71  334     347 2031  10  30     845.0  0.743  78%  236.6  149.3  31.1 -16  142  143     627 2034  4  3     2005.2  0.881  93%  270.4  143.5  29.6 17  303  228     1803 2038  1  21     448.0  0.926  96%  250.0  153.4  32.1 25  92  146     746 2038  6  17     343.1  0.468  44%  181.9  153.8  32.5 -2  54  155     325 2038  12  11     1843.1  0.832  88%  263.5  144.5  29.7 28  270  31     1524 Ryc. 4. Inaczej niż dla Słońca, tabele 2 i 3 nie podają fazy w chwili zachodu lub wschodu Księżyca podczas zaćmienia. Można ją obliczyć ze wzoru (9) podstawiając tam zamiast σo wartość arccos(cosσocost), gdzie τ = 2t'/t arccos{cos[(Dm + Du)/2]/cosσo}, a t' jest czasem upływającym między środkiem zaćmienia i interesującym nas momentem pamiętając dodatkowo, że dla zaćmień półcieniowych w wyrażeniu na τ bierzemy tabelaryczne Dp zamiast Du. Jeśli zadowoli nas mniejsza dokładność, to możemy τ (w stopniach) ocenić na t'/118, gdy t' wyrazimy w minutach czasu. Np., zaćmienie cieniowe z dnia 1993.11.29 ma środek około 7 minut po zachodzie Księżyca w Warszawie. Obliczamy, że maksymalnej fazie 1,091 odpowiada σo = 22,11', a τ = 3,32', zatem faza przy zachodzie wynosi 1,083 (posługując się uproszczonym rachunkiem dostalibyśmy 1,082 przy τ = 3,56'). Z Tab. 1 i Ryc. 2 (por. też: Borkowski 1989, Fangor 1988, Wiland i Zawilski 1986) wynika, że w najbliższych latach nie będziemy w Polsce oglądać żadnego centralnego zaćmienia Słońca. W istocie będzie tak aż do roku 2075, kiedy to wystąpi obrączkowe zaćmienie widoczne m.in. z Krakowa, lecz Warszawa będzie musiała poczekać na podobną okazję ponad 200 lat — do 2195 r. (wspomnieć warto, że ostatnio Warszawa była świadkiem centralnego zaćmienia 28 lipca 1851 r., a było ono całkowitym). Dla odmiany, wśród 52 cieniowych zaćmień Księżyca widocznych w Polsce do roku 2040 będzie aż 33 typu całkowitego (chociaż nie wszystkie będą widoczne w czasie maksimum ich fazy). Pośród zaćmień półcieniowych zwracają uwagę 3 całkowite, z tym że to trzecie (z roku 2017) staje się częściowym jeśli przyjąć francuski sposób uwzględniania wpływu atmosfery Ziemi na rozmiary jej półcienia (Meeus 1980). LITERATURA Almanac for Computers, 1988, 12th edition, p. B14 (Eqs. 1 and 2), Nautical Almanac Office, USNO, Washington (DC). Astronomicheskij Ezhegodnik SSSR, 1990, Nauka, Leningrad (1988). Borkowski K.M., 1987, Post. Astron. 35, 275. Borkowski K.M., 1988, Astron. Astrophys. 205, L8. Borkowski K.M., 1989, Solar Eclipses in Poland, 900 – 2200, Post. Astronaut. 22, Nr 3/4, 99 – 130. Borkowski K.M., 1990a, Lunar Eclipses in Europe, 900 – 2200, Earth, Moon, and Planets 49, 107 – 140 Borkowski K.M., 1990b, Lunar Penumbral Eclipses, 1900 – 2200, Earth, Moon, and Planets 49, 141 – 148 Bretagnon P., Simon J.L., Laskar J., 1986, J. Hist. Astron. 17, 39. Chapront-Touze M., Chapront J., 1988, Astron. Astrophys. 190, 342. Dagaev M.M., 1978, Solnechnye i lunnye zatmeniya, Nauka, Moskva. Dagaev M.M., 1981, w: Astronomicheskij Kalendar' – postoyannaya chast' (red. V.K. Abalakin), Nauka, Moskva, s. 149. de Jong T., van Soldt W.H., 1989, Nature 338, 238. Erman W., Tiomkin E., 1987, Mity starożytnych Indii, Pomorze, Bydgoszcz. Espenak F., 1987, Fifty Year Canon of Solar Eclipses: 1986 – 2035, NASA RP-1178 Revised. Explanatory Supplement AENA, 1961, Her Majesty's Stationery Office, London, s. 257. Fangor R., 1988, Urania (Kraków) LIX (9), 266. Fangor R., 1990a, Zaćmienia Słońca i Księżyca, 1991 – 2000, PTMA, Warszawa. Fangor R., 1990b, Kanon polskich zaćmień Słońca i Księżyca, 2001 – 2200, PTMA, Warszawa. Janiczek R., 1962, Kalendarz astronomiczny na XX w., PWN, Warszawa. Liu Bao-lin, 1983, Canon of Lunar Eclipses from 1000 BC to AD 3000, Publ. Purple Mountain Obs.(Nanjing), vol. 2, No. 1, 1 – 136. Meeus J., 1980, J. R. Astron. Soc. Canada 74, 291. Meeus J., Mucke H., 1983, Canon of Lunar Eclipses, - 2002 to +2526, Astronomisches Buro, Vienna, Austria. Merletti R.J., 1986, Sky Telescope 72 (5), 515. Mucke H., Meeus J., 1983, Canon of Solar Eclipses, - 2003 to +2526, Astronomisches Buro, Vienna, Austria. Oppolzer T.R.v., 1887, Canon der Finsternisse, Vienna. Pang K.D., 1987, J. Hydrol. 96, 139. Pang K.D., Yau K., Chou H.-h., Wolff R., 1988, Vistas Astron. 31, 833. Polozova N.G., 1955, Bull. Inst. Teor. Astron. 6, 202. Raab H., 1988, Sky Telescope 75, 640. Sharonov V.V., 1952, Astron. Circ. No. 130, 12. Sofia S., Dunham D.W., Fiala A.D., 1980, w Proc. Conf. Ancient Sun (red. R. O. Pepin i in.), s. 147. Stephenson F.R., Clark D.H., 1978, Applications of Early Astronomical Records, Adam Hilger Ltd, Bristol. Stephenson F.R., Houlden M.A., 1986, Atlas of Historical eclipse maps. East Asia 1500 BC – AD 1900, Cambridge University Press. Stephenson F.R., Morrison L.V., 1984, Phil. Trans. R. Soc. London A313, 47. Stephenson F.R., Said S.S., 1989, Astron. Astrophys. 215, 181. Wiland J., Zawilski M., 1986, Urania (Kraków) LVII, 331. Zawilski M., 1990, Urania (Kraków) LXI, 2, 42, 75, 102, 137 i 177. File translated from TEX by TTH, version 3.12 on 30 Jul 2002.