Rozdział XII

Uzupełnienia

(Ostatnia aktualizacja: 2003.08.12)

XII.1  Przeliczanie współrzędnych

Wzory trygonometrii sferycznej

Wzory Gaussa

sin a sin A = sin b sin B = sin c sin C	— twierdzenie sinusów
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A	— twierdzenie kosinusów
sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A	— wzór mieszany

Inne wzory

cos A =   –cos B cos C + sin B sin C cos a sin A cos b =   cos B sin C + sin B cos C cos a

Pole trójkąta sferycznego wynosi

S = R2ε,

gdzie R jest promieniem sfery a ε = A + B + C – π, tzw. nadmiar albo przewyżka sferyczna, musi być wyrażone w radianach. Nadmiar sferyczny można też obliczyć ze wzoru:

sin ε 2   =   sin a 2  sin b 2 cos c 2  sin C.

Przekształcenia układów topocentrycznych, geocentrycznych i heliocentrycznych

Prostokątne ↔ biegunowe

Geodezyjne ↔ geocentryczne

Transformacja odwrotna nastręcza pewne trudności. Opracowano szereg algorytmów iteracyjnych. Oto jeden z najbardziej efektywnych (Bowring 1976). Najpierw oblicza się ,,zerowe" przybliżenie szerokości zredukowanej:

ψo = arctan aZ br

a pierwsze przybliżenie na ψ dostaje się z:

tanψ =   bZ + (a2 – b2)sin3ψo ar – (a2 – b2)cos3ψo .

Drugie i zarazem ostatnie przybliżenie jest powtórzeniem pierwszego po podstawieniu ψ w miejsce ψ_o. Szerokość geodezyjna jest teraz równa:

φ = arctan ( a b tanψ )

zaś wysokość nad elipsoidą można obliczyć na kilka sposobów, np. ze wzoru

H =   ( r – a √   1 + tan2ψ   ) cosφ + Z sinφ.

Ta procedura w praktyce daje dokładności pojedynczych nanometrów (10^–9 m, co jest na granicy podwójnej precyzji większości współczesnych obliczeń komputerowych) w zakresie wysokości –5000 ÷ +1 000 000 km i dla wszystkich szerokości (wyłączając oczywiście punkty bardzo bliskie bieguna). W tym względzie nie ustępuje ona algorytmom opartym o rozwiązania ścisłe.

Na powierzchni elipsoidy (dla H = 0 m) mamy prosty i ścisły związek szerokości geodezyjnej z geocentryczną:

φ' = arctan ( b2 a2 tanφ )       lub       φ = arctan ( a2 b2 tanφ' ) .

Horyzontalne ↔ równikowe

W przypadku układów horyzontalnego i równikowego należy rozwiązać trójkąt nazywany paralaktycznym. Jego boki mają wartości: 90° – φ (odległość biegunów; φ jest szerokością geograficzną miejsca obserwacji), 90° – h = z (odległość zenitalna) i 90° – δ (dopełnienie deklinacji do 90°). Dwa z kątów wierzchołkowych mają wartości t (przy biegunie niebieskim) i 180° – a (przy zenicie). Oto rozwiązanie tego trójkąta (polegające na zastosowaniu wzorów Gaussa) pozwalające przeliczyć współrzędne horyzontalne na równikowe:

sinδ   = sin h sinφ – cos h cosφ cos a cosδ sin t   =   cos h sin a cosδ cos t   = sin h cosφ + cos h sinφ cos a.

(XII.1)

Dwa ostatnie równania można zapisać prościej pamiętając jednak o znakach licznika (znak sinusa obliczanego kąta t) i mianownika (znak kosinusa tego kąta), które pozwalają określić ćwiartkę kąta pełnego rozwiązania na kąt godzinny, t:

tan t  =   sin a tan h cosφ + sinφ cos a .

Wzory typu tan t = x/y są szczególnie efektywne w zastosowaniach na kalkulatory posiadających wbudowaną funkcję R→P (też: TO POLAR, →P) służącą do transformacji współrzędnych prostokątnych: x (nasz licznik prawej strony wzoru) i y (nasz mianownik) na biegunowe: Θ (nasze t) i r, albo funkcji ATAN2(x,y), która występuje w niektórych językach programowania (np.FORTRAN lub C).

Przekształcenie odwrotne, do zamiany współrzędnych równikowych na horyzontalne (por. praktyczny program w Fortranie), otrzymuje się podobnie (poprzez wzory Gaussa):

sin h =   sinδ sinφ + cosδ cosφ cos t cos h sin a =   cosδ sin t cos h cos a = –sinδ cosφ + cosδ sinφ cos t

(XII.2)

z analogicznym skróconym zapisem:

tan a  =   sin t –tanδ cosφ + sinφ cos t .

Równikowe ↔ ekliptyczne

Oto skrócony zapis ścisłych transformacji współrzędnych tych układów w obie strony (por. praktyczny program w Fortranie):

sinδ   =   sinε cosβ sinλ + cosε sinβ tanα  =   cosε sinλ – sinε tanβ cosλ sinβ  =   cosε sinδ – sinε cosδ sinα tanλ  =   cosε sinα + sinε tanδ cosα

(XII.3)

Równikowe ↔ galaktyczne

sin bII   =   sinδ cos62,6° – cosδ sin(α – 282,25°) sin62,6° tan(lII – 33°)   =   cosδ sin(α – 282,25°) cos62,6° + sinδ sin62,6° cosδ cos(α – 282,25°) sinδ   =   cos bII sin(lII – 33°) sin62,6° + sin bII cos62,6° tan(α – 282,25°)   =   sin(lII – 33°) cos62,6° – tan bII sin62,6° cos(lII – 33°) .

(XII.4)

XII.2  Efemerydy planet

W wersji zainstalowanej na komputerze FS program PlanJPL uruchamia się poleceniem:

moonrt

którego niezbyt adekwatna nazwa (Moon + RT) pozostała po pierwotnym programie przeznaczonym do wyliczania przybliżonych współrzędnych Księżyca dla geograficznego położenia RT32. Obecnie to samo polecenie powoduje wywołanie programu PlanJPL, który przy starcie skonfigurowany jest także na wyświetlanie aktualnych topocentrycznych współrzędnych Księżyca wyliczonych dla radioteleskopu w Piwnicach, ale użytkownik łatwo może wybrać Słońce (opcja b0) lub dowolną z planet, a także zmienić układ współrzędnych oraz rodzaj wyświetlanych dodatkowych danych astronomicznych (zamiast średnicy tarczy można wywołać odległość ciała lub jego optyczną jasność, zamiast temperatury jasnościowej (Tb) można wyświetlić kąt fazowy, fazę lub elongację, zaś zamiast miejscowego czasu gwiazdowego — czas Greenwich (opcja t1).

Wiele z opcji programu przeznaczonych jest do szczególnych zastosowań (np. uwzględnianie refrakcji przy obliczaniu położenia) lub do porównywania z wynikami innych programów albo publikacji. Np. współrzędne geocentryczne uzyskamy usuwając poprawkę na paralaksę (tzn. wpisując opcję c0), współrzędne geometryczne (zamiast astrometrycznych) — usuwając poprawkę na aberrację (a0), odniesienie do epoki J2000 — eliminując precesję (p0) i nutację (n0), współrzędne w czasie dynamicznym (TDT), tj. tak jak w rocznikach astronomicznych — zerując parametr ΔT = deltaT = ET – UT (e0).

Program wylicza także przybliżoną temperaturę jasnościową Tb wybranego ciała na częstości 12 GHz (tę częstość można zmienić opcją f, np. 'f3 30' przestawi ją na 30 GHz) przez liniową interpolację danych na częstościach: 1, 1.6, 5, 10, 30 i 100 GHz. Wielkość ta może być użyteczna do celow kalibracyjnych. Trzeba jednak pamiętać, że dane, które użyto w programie, pochodzą na ogół z lat 60-tych, więc mogą być obarczone sporymi błędami. Zostały one zakodowane w następującym podprogramie:

double precision function Tbr(f,iBody) c Estimates the brightness temperature of planets at frequency f [GHz] implicit real*8 (a-h,o-z) dimension T(6,0:10),fi(6) data ! fi is frequency in GHz *fi/1d0, 1.6d0, 5d0, 10d0, 30d0, 100d0/, ! Surface Temp *T/1.2d5,7.5d4,2.2d4, 12d3, 8.2d3, 7.3d3, ! Sun * 0420,0397, 385, 03*380d0, ! Merc 100-700 * 600, 600, 600, 575, 420, 350, ! Ven 730 * 257.8,249.0,239.4, 234.1,230.5,230, ! Moon - Kuzmin+,1964 c for Moon given is mean temp. of the disk center; actual values may c differ by about +/-1 (1GHz) to +/-50 K (100GHz) depending on optical c phase * 0230, 227, 190, 0187, 0185, 0183, ! Mars 183-268 * 5500,2100, 600, 175, 145, 130, ! Jup 124 * 0270, 255, 160, 106, 0100, 095, ! Sat 95 * 0210, 197, 180, 0160, 0100, 080, ! Uran 58 * 2*0140, 130, 0110, 090, 070, ! Nept 59 * 02*130, 0120, 0100, 080, 060, ! Pluto 50 * 6*0d0/ ! E-M baryc do 1 i=2,6 if(f.le.fi(i)) go to 2 1 continue i=i-1 2 Tbr=T(i-1,ibody) Tbr=Tbr+(T(i,ibody)-Tbr)*(f-fi(i-1))/(fi(i)-fi(i-1)) end

Ponadto Tb Księżyca i Wenus silnie zależy od ich fazy. Dla Księżyca program liczy pewną średnią temperaturę centralnej części dysku, zaś w przypadku Wenus są to wartości nieoświetlonej części tarczy (dla fazy bliskiej zera). Istnieje też opcja (s3) wyświetlania spodziewanej temperatury antenowej idealnego (100-procentowa skuteczność wykorzystania powierzchni zbierającej) RT32 skierowanego na ciało, która może posłużyć jedynie do zorientowania się, które z ciał nadaje się do kalibracji (po s3 i b11 otrzymamy listę parametrów dla wszystkich 10-ciu ciał Układu Słonecznego).

Plik źródłowy programu (o nazwie PlanJPL.for napisany w języku Fortran), wykonawczy (moon) oraz dane JPL (plik JPL405) znajdują się w katalogu /users/kb/moon (na FS). Do kompilacji użyto linuxowego kompilatora g77. Plik JPL405 zawiera binarne dane na lata 2000 – 2019 (włącznie), ale w razie potrzeby można go zamienić na inny. Wymiana wymaga skompilowania danych z formatu ASCII dostępnych pod internetowym adresem FTP: ssd.jpl.nasa.gov w katalogu pub/ephem/export/ascii (uwaga: mimo, że są to dane ASCII koniecznie trzeba ściągać je jako binarne!). Do tej kompilacji służą gotowe programy fortranowskie umieszczone w innym katalogu na tym samym serwerze FTP.

Poprawność obliczeń programu testowano przez kilka miesięcy 2002 r. porównując je głównie z danymi The Astronomical Almanac (dane geocentryczne na 0 godz. czasu dynamicznego, TDT lub ET) oraz z programu opracowanego w Observatoire de Paris, Planeph, v. 4.2, który liczy efemerydy analitycznie w oparciu o DE403. Francuski program pozwolił na porównania w innych układach odniesienia, w szczególności w topocentrycznym. Uzyskiwano zgodność na poziomie kilku setnych części sekundy łuku dla położeń geocentrycznych i czasu dynamicznego; dla UT i położeń topocentrycznych sytuacja jest o około rząd wielkości gorsza, co można spisać na karb różnic w algorytmach oraz błędów predykcji różnicy TDT – UT (program Planeph powstał w 1997 r.).

Poniżej zamieszczamy przykład wywołania i obsługi omawianego programu (wzięty z okna telnet-u), w którym pokazano m.in. wszystkie opcje programu (po wpisaniu parametru o). Operacje użytkownika są tutaj wyróżnione kolorem (symbol ż oznacza zmianę wiersza i powrót karetki czyli klawisz ENTER).

$ moonrt ż Lunar, solar & planetary topocentric data for location of TRAO - RT32 (coordinates [+/-1"] & diameter in degrees, phase [0(new)-1.0(full)]) [On prompt: ENTER = Refresh, q/o/? = Quit/Options/Info] 2003.01.29, Wed, 29 DoY, JD(noon)=2452669 J2003.077 Ephemeris of Moon UT1 RA Dec Azimuth Altit Diameter Tb[K] LocalAppST 9:16:09 270.9554 -26.4574 13.4563 9.4016 0.529994 234 19:03:15.4 9:17:00 270.9621 -26.4577 13.6412 9.3722 0.529988 234 19:04:06.5 >b6 ż 2003Jan29 82.0837 22.0356 202.6226 -12.0468 0.005223 105 Saturn >o ż Options at prompt: H/i - Head/current state (param's) p0/1 - precession*0/1 n0/1 - nutation*0/1 a0/1 - aberration*0/1 r0/1 - refraction*0/1 c0/1 - parallax*0/1 (geoc./topoc.) t0/1 - local/Greenwich sidereal time z0/1 - ecliptic/horizon coord. --> z1/2 - azimuth & altitude/zenth angle y2019- set year to 2019 m12 - set month to 12 (i.e. Dec.) d31 - set day to 31 h23 - set UT hour to 23 +-65 - advance UT by +-65 minutes [nil]- refresh (get current UT) e0/1/2/n - TDT-UT[s]=<0>/<64.184>/<64.184+(y-2001.5)*5/7>/<n> s0/1/2/3 - Distance[AU]/Diameter[deg]/Magnitude/Ta[K](for Aeff = 804.25m^2) f0/1/2/3 *- Phase_angle[deg]/Phase[0 to 1.0]/+-Elongation[deg]/Tb[K] * Ta & Tb refer to freq[GHz] = 12.0; to change it enter 'f3 freq' b0/.../10 - b0-Sun, b1-Mercury, b2-Venus, b3-Moon, b4-Mars, b5-Jupiter, b6-Saturn, b7-Uranus, b8-Neptune, b9-Pluto, b10-E_M barycenter, b11-all >? ż y2003, m01, d29, e2, c1, a1, p1, n1, r0; z1, s1, f3 12.0, t0 Saturn > ż Lat[deg] 53.0955, Long[deg] 18.5641, Height[km] 0.1336, DelT[s] 65.26 > ż The positions are based on JPL DE405 read from the /users/kb/moon/JPL405 binary file (replaceable) valid from 1999.12.24 to 2020.01.15. Enjoy under 1" accuracy for all the bodies (save Pluto)! Program written by K. Borkowski of Centre for Astronomy, Nicolaus Copernicus University Torun, Poland (2002) >z0 ż 9:17:00 82.0837 22.0356 82.6676 -1.2029 0.005223 105 19:04:06.5 >s3 ż 2003Jan29 82.0837 22.0356 82.6676 -1.2029 1.77 105 Saturn >f2 ż 2003Jan29 82.0837 22.0356 82.6676 -1.2029 1.77 133.60 Saturn >H ż UT1 RA Dec EclLong EclLat Ta[K] +Elong LocalAppST >b11 ż 9:17:00 311.4759 -17.9984 309.0463 -0.0024 11600.00 0.00 Sun 2003Jan29 285.6563 -20.8558 284.6181 1.7933 1.02 -24.49 Mercury 9:17:00 262.6439 -20.3827 263.1019 2.8811 11.20 -46.02 Venus 2003Jan29 270.9621 -26.4577 270.8665 -3.0207 233.74 -38.29 Moon 9:17:00 246.1615 -21.2173 247.8699 0.4095 0.24 -61.18 Mars 2003Jan29 136.3568 17.5496 133.6378 0.8530 15.82-175.34 Jupiter 9:17:00 82.0837 22.0356 82.6676 -1.2029 1.77 133.60 Saturn 2003Jan29 330.1330 -12.9420 327.6995 -0.7117 0.08 18.67 Uranus 9:17:00 313.0444 -17.5455 310.6067 0.0346 0.02 1.56 Neptune 2003Jan29 259.0162 -13.7911 259.1987 9.2378 0.00 -50.47 Pluto >i ż y2003, m01, d29, e2, c1, a1, p1, n1, r0; z0, s3, f2 12.0, t0 Pluto >s1 ż 2003Jan29 259.0162 -13.7911 259.1987 9.2378 0.000037 -50.47 Pluto >f3 30 ż 2003Jan29 259.0162 -13.7911 259.1987 9.2378 0.000037 80 Pluto >z2 ż 9:17:00 259.0162 -13.7911 27.8436 70.7955 0.000037 80 19:04:06.5 >b11 ż 9:17:00 311.4759 -17.9984 334.8957 74.4188 0.541280 8200 Sun 2003Jan29 285.6563 -20.8558 0.3606 73.9520 0.002086 380 Mercury 9:17:00 262.6439 -20.3827 22.5228 76.2226 0.005701 420 Venus 2003Jan29 270.9621 -26.4577 13.6412 80.6278 0.529988 231 Moon 9:17:00 246.1615 -21.2173 37.1214 81.9368 0.001439 185 Mars 2003Jan29 136.3568 17.5496 150.1540 104.6586 0.012224 145 Jupiter 9:17:00 82.0837 22.0356 202.6226 102.0468 0.005223 100 Saturn 2003Jan29 330.1330 -12.9420 315.6587 76.0463 0.000929 100 Uranus 9:17:00 313.0444 -17.5455 333.2754 74.3949 0.000599 90 Neptune 2003Jan29 259.0162 -13.7911 27.8436 70.7955 0.000037 80 Pluto >H ż UT1 RA Dec Azimuth ZenithD Diameter Tb[K] LocalAppST

XII.3  Formularz propozycji obserwacji

XII.4  Katalogi obiektów i mapy tła

Mapa nieba na częstotliwości 400 MHz