Wiele z parametrów charakteryzujących 32-metrowy radioteleskop opisano w fazie projektowania (zob. też uzupełnienie) tego instrumentu . Niniejszy artykuł jest poświęcony analizie teoretycznej charakterystyki kierunkowej i parametrów z nią związanych.
    Dla dowolnego układu anten wypadkowe widmo częstości przestrzennych (które bezpośrednio wiąże się z charakterystyką kierunkową) i apertura tego układu są parą transformat Fouriera. Innymi słowy, aby wyznaczyć charakterystykę kierunkową systemu antenowego należy obliczyć dwuwymiarową transformatę Fouriera z rozkładu powierzchni zbierających tego systemu (ściślej: z rozkładu pola elektrycznego na aperturze).
    Jeśli funkcja rozkładu f(x,y) jest kołowo symetryczna, to także jej widmo ma taką symetrię. W tym przypadku do pary transformat możemy podstawić współrzędne biegunowe: x = r cosφ i y = r sinφ oraz, w dziedzinie częstości przestrzennych, u = q cosψ i v = q sinψ, uzyskując zależność od jednej tylko zmiennej (r lub q). Jakobiany tych przekształceń współrzędnych wynoszą r oraz q. Dla pierwszej z pary transformat mamy kolejno:

∞ ∫ –∞ ∞ ∫ –∞ f(x,y) e–j2π(ux + vy) dxdy = ∞ ∫ 0 2π ∫ 0 f(r)e–j2πrq(cosφcosψ + sinφsinψ)r drdφ

= ∞ ∫ 0 f(r) [ 2π ∫ 0 e–j2πrq cos(φ – ψ) dφ ] r dr = 2π ∞ ∫ 0 f(r)Jo(2πqr)r dr = F(q),

gdzie J_o(z) = 1/(2π)∫₀^2πexp(–jz cosΦ) dΦ = 1/π∫₀^πcos(z cosΦ) dΦ jest funkcją Bessela. Funkcję F(q) nazywa się transformatą Hankela (zerowego rzędu) funkcji f(r). Podobnie dla transformaty odwrotnej dostajemy łatwo:

f(r) = 2π ∞ ∫ 0 F(q)Jo(2πqr)q  dq,

co jest odwrotną transformatą Hankela (zauważmy, że obie mają taką samą formę i jądro).
    W szczególności zatem, transformata Fouriera jednostkowego dysku (równomiernego rozkładu pola promieniowania na aperturze kołowej) o średnicy D, czyli funkcji Π(r/D), ma postać funkcji Bessela pierwszego rzędu (R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, 1965):

2π ∞ ∫ 0  Π(r/D) Jo(2πqr)r dr = D 2q J1(πDq) = 2π (D/2)2  J1(πDq) πDq ,

(1)

zaś obciętej funkcji parabolicznej, [1 – (2r/D)²]Π(r/D),

J2(πDq) πq2 = 4π(D/2)2 J2(πDq) (πDq)2 .

(2)

1 – β(2r/D)² = [1 – β] + β[1 – (2r/D)²]

u = κ² (2 – κ²β)/(2 – β).

Wydaje się, że jest to oryginalny wynik, gdyż nie ma go w dostępnej literaturze. Poprawność tego analitycznego sformułowania została sprawdzona przez porównanie z obliczeniami numerycznymi z wykorzystaniem bezpośredniej transformacji Fouriera (przykładowe wyniki podano w tym raporcie). Właśnie takie porównania wykazały, że na pozór oczywiste rozwiązanie przedstawione w pierwotnej wersji tego dokumentu jest niedobre. Różnice między poprawnym rozwiązaniem i tym niedobrym pokazuje poniższy rysunek.

Widmo przestrzenne apertury teleskopu Cassegraina ze stosunkiem średnic zwierciadeł d/D = κ = 0.1 i oświetleniem parabolicznym z β = 0.75 (krzywa niebieska) oraz położenie ekstremów wzięte z tabeli opartej na błędnym rozwiązaniu (czerwone punkty).

    Poniższa ramka zawiera przykład fortranowskiego programu do obliczania znormalizowanej charakterystyki napięciowej RT32, który został wykorzystany do wykonania załączonych w tym raporcie rysunków. Jest to funkcja CharRT32(F) = U(0.1,0.75,π F). Tu i dalej w tym dokumencie na β będziemy przyjmować wartość 0.75, co odpowiada 12 decybelowemu [20lg(1 – 0.75)] osłabieniu oświetlenia na skraju czaszy.

function CharRT32(F) c Napieciowa charakterystyka teleskopu Cassegraina z parabolicznym c oswietleniem (typu: 1 - beta*(2r/D)^2, gdzie r - promien, beta=0.75) c i stosunkiem srednic zwierciadel d/D = d_D = 0.1 na czestosci c przestrzennej F = z/pi = D*q [w cyklach na aperturze D] data pi/3.1415927/,d_D/0.1/,beta/0.75/ c Znormalizowana charakterystyka teleskopu bez lustra wtornego: char(b,z) = 4*((1-b)*Bessj1(z) + 2*b*Bessj(2,z)/z)/z/(2-b) z = max(pi*abs(F),1e-6) ! max, by uniknac dzielenia przez zero zs = z*d_D dish = char(beta,z) ! charakterystyka teleskopu bez subrefl. betas = beta*d_D**2 ! beta na skraju subreflektora subr = char(betas,zs) ! charakt. teleskopu o srednicy d (subrefl.) c Czesc calkowitego napiecia przypadajaca na subreflektor: u = d_D**2*(2 - betas)/(2 - beta) CharRT32 = (dish - u*subr)/(1 - u) end

Wykres znormalizowanych funkcji |U| oraz U² dla d/D = 0.1 i β = 0.75 [tutaj V(z) = U(0.1,0.75,z)]
(Plot of the normalized voltage and power pattern functions)

    Z teorii anten wiadomo, że jeżeli w argumencie charakterystyki z = πDq średnicę D wyrazimy w długościach fali, λ, to q jest kosinusem kierunkowym (kosinusem kąta między kierunkiem na niebie a płaszczyzną apertury). Argument ten możemy zatem wyrazić w funkcji kąta θ liczonego od kierunku maksimum wzmocnienia (prostopadłego do płaszczyzny apertury):

z = π D λ sinθ,

(6)

gdzie λ jest długością fali obserwowanego promieniowania. Dysponując funkcją typu charRT32 łatwo teraz obliczać kierunkową charakterystykę mocy (kwadrat charakterystyki napięciowej) w funkcji kąta θ. W Fortranie kod może mieć np. postać prostej statement function:

char2(theta)=chaRT32(D_lambda*sin(theta))**2

gdzie theta = θ oraz D_lambda = D/λ.
    Poniższe trzy rysunki przedstawiają przestrzenny wygląd charakterystyki radioteleskopu o aperturze kołowej o średnicy D = 32 m z centralnym otworem (cień lustra Cassegraina) o średnicy 3.2 m we współrzędnych kątowych obliczonych dla częstości 5 GHz (λ = 6 cm) i przy oświetleniu z parametrem β równym 0.75. Rysunki obejmują kwadratowe pole o boku 148' w pobliżu maksimum wzmocnienia. Na rysunkach zaznaczono (innym kolorem) również pełne (niezacienione) przekroje przez maksimum charakterystyki. Charakterystyki mocy promieniowania zostały przeskalowane w amplitudzie o czynniki ok. 50 i ok. 4000 w stosunku do charakterystyki napięciowej, by pokazać strukturę bardzo słabych listków bocznych.

Numerycznie wyznaczone położenia i poziomy ekstremów charakterystyki kierunkowej RT32 W pierwszej kolumnie tabeli (Nr) widnieją numery kolejnych listków bocznych; 'min' oznacza minimum między listkami; wiersz oznaczony '1/2' zawiera dane o poziomie połowy mocy głównej wiązki; kąty θ odpowiadające argumentowi z podano w minutach łuku w siedmiu ostatnich kolumnach, każda dla innej częstości wymienionej w główce tabeli.

Nr z/π Moc Kąty θ ['] na poszczególnych częstościach [GHz] *108 1.42 1.66 5 11.7 22 30 100 1/2 0.57328 50000000 13.0 11.1 3.7 1.58 0.84 0.62 0.18 min 1.42119 0.0 32.2 27.6 9.2 3.91 2.08 1.53 0.46 1 1.83478 774809.4 41.6 35.6 11.8 5.05 2.69 1.97 0.59 min 2.54375 0.0 57.7 49.4 16.4 7.00 3.72 2.73 0.82 2 2.84691 26630.2 64.6 55.2 18.3 7.84 4.17 3.06 0.92 min 3.20613 0.0 72.7 62.2 20.7 8.83 4.69 3.44 1.03 3 3.82671 99067.6 86.8 74.2 24.6 10.53 5.60 4.11 1.23 min 4.77976 0.0 108.4 92.7 30.8 13.16 7.00 5.13 1.54 4 5.02723 355.6 114.0 97.5 32.4 13.84 7.36 5.40 1.62 min 4.89273 0.0 111.0 94.9 31.5 13.47 7.16 5.25 1.58 5 5.79475 37143.7 131.5 112.4 37.3 15.95 8.48 6.22 1.87 min 6.83215 258.9 155.0 132.6 44.0 18.81 10.00 7.33 2.20 6 7.76764 15231.7 176.3 150.8 50.0 21.38 11.37 8.34 2.50 min 8.83277 9.5 200.4 171.4 56.9 24.31 12.93 9.48 2.84 7 9.74959 5211.5 221.3 189.3 62.8 26.84 14.27 10.47 3.14 min 10.51516 0.0 238.7 204.1 67.7 28.95 15.39 11.29 3.39 8 10.82980 262.6 245.8 210.2 69.8 29.81 15.85 11.63 3.49 min 11.17259 0.0 253.6 216.9 72.0 30.76 16.36 11.99 3.60 9 11.74393 1179.4 266.6 228.0 75.7 32.33 17.19 12.61 3.78 min 12.28627 0.0 279.0 238.6 79.1 33.82 17.99 13.19 3.96 10 12.81732 1007.0 291.1 248.9 82.6 35.28 18.76 13.76 4.13 min 13.44556 0.0 305.4 261.1 86.6 37.01 19.68 14.43 4.33 11 13.75137 95.0 312.3 267.1 88.6 37.85 20.13 14.76 4.43 min 14.05493 0.0 319.2 273.0 90.5 38.69 20.58 15.09 4.53

    Jednym z ważniejszych parametrów charakterystyki promieniowania radioteleskopu jest szerokość połówkowa głównej wiązki θ_HPBW, tj. podwojona wartość kąta θ, przy którym funkcja U maleje do √{0.5} ≈ 0.707 wartości w maksimum. Przekształcając (6) otrzymujemy:

θHPBW = 2 arcsin ( zHPBW π  λ D ) .

W przypadku RT32 z obliczeń numerycznych wynika, że

z_HPBW = 0.573281 π.

f [MHz] 327 408 610 1420 1660 2290 5000 11700 22000 30000 100000 λ [cm] 91.68 73.48 49.15 21.11 18.06 13.09 5.996 2.562 1.363 0.999 0.300 Θ ['] 112.9 90.51 60.54 26.01 22.25 16.13 7.385 3.156 1.678 1.231 0.369 Θ [°] 1.88 1.51 1.01 0.433 0.371 0.269 0.123 0.053 0.028 0.021 0.006 Δ/1000 11 17 37 200 274 521 2490 13600 48100 89500 994000

Δ = 4π/Ω = 4πU²(0)/[2π∫U²(θ)sinθ dθ],

A_eff = 711.27 m².

— KMB